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　　麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。
　　1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。他在1742年撰写的名著《流数论》是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法莫道不消魂论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。
　　他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Gramer又重新发现了这个法则，所以现在称为Gramer法则。
　　Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。
　　Maclaurin终生不忘Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。

拉普拉斯

　　 　　Laplace，Pierre-Simon
　　 法莫道不消魂国数学家 ，天文学家。法莫道不消魂国科学院院士。1749年3月23日生于法莫道不消魂国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎。曾任巴黎军事学院落数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。
　　拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页。其中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体系论》和《概率分析理论》。1796年，他发表《宇宙体系论》。因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法莫道不消魂国的牛顿和天体力学之父。
　　拉普拉斯生于法莫道不消魂国诺曼底的博蒙，父亲是一个农场主，他从青年时期就显示出卓越的数学才能，18岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作。于是带着一封推荐信去找当时法莫道不消魂国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。此后，他同拉瓦锡在一起工作了一个时期，他们测定了许多物质的比热。1780年，他们两人证明了将一种化合物分解为其组成元素所需的热量就等于这些元素形成该化合物时所放出的热量。这可以看作是热化学的开端，而且，它也是继布拉克关于潜热的研究工作之后向能量守恒定律迈进的又一个里程碑，60年后这个定律终于瓜熟蒂落地诞生了。拉普拉斯的主要注意力集中在天体力学的研究上面，尤其是太阳系天体摄动，以及太阳系的普遍稳定性问题。他把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系，1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，并证明为偏心率和倾角的3次幂。这就是著名的拉普拉斯定理，从此开始了太阳系稳定性问题的研究。同年，他成为法莫道不消魂国科学院副院士，1784～1785年，他求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。1785年他被选为科学院院士。 1786年证明行星轨道的偏心率和倾角总保持很小和恒定，能自动调整，即摄动效应是守恒和周期性的，即不会积累也不会消解。1787年发现月球的加速度同地球轨道的偏心率有关，从理论上解决了太阳系动态中观测到的最后一个反常问题。1796年他的著作《宇宙体系论》问世，书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。他长期从事大行星运动理论和月球运动理论方面的研究，在总结前人研究的基础上取得大量重要成果，他的这些成果集中在1799～1825年出版的5卷16册巨著《天体力学》之内。在这部著作中第一次提出天体力学这一名词，是经典天体力学的代表作。这一时期中席卷法莫道不消魂国的政治变动，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显著地打断他的工作，尽管他是个曾染指政治的人。他的威望以及他将数学应用于军事问题的才能保护了他。他还显示出一种并不值得佩服的在政治态度方面见风使舵的能力。
　　拉普拉斯在数学上也有许多贡献。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书。1799年他还担任过法莫道不消魂国经度局局帘卷西风长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。
　　拉普拉斯的著名杰作《天体力学》，集各家之大成，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著作。《宇宙系统论》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。
　　拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
　　补充说明：1，拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。
　　2，拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物，墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把无穷小量的精神带到内阁里。

Dirichlet，Peter Gustav Lejeune
　　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
　　在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。
　　在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。1863年狄利克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。1837年，他构造了狄利克雷级数。1838～1839年，他得到确定二次型 类数的公式。1846年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。
　　在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄利克雷问题。

　　笛卡儿（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法莫道不消魂国都兰城。笛卡儿是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。

编辑本段一、笛卡儿生平

　　笛卡儿1596年3月31日生于法莫道不消魂国土伦省莱耳市的一个贵族之家，笛卡儿的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官,笛卡儿在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年。他幼年体弱多病，母亲病故后就一直由一位保姆照看。他对周围的事物充满了好奇，父亲见他颇有哲学家的气质，亲昵地称他为“小哲学家”。
　　父亲希望笛卡儿将来能够成为一名神学家，于是在笛卡儿八岁时，便将他送入拉弗莱什的耶稣会学校，接受古典教育。校方为照顾他的孱弱的身体，特许他可以不必受校规的约束，早晨不必到学校上课，可以在床上读书 。因此，他从小养成了喜欢安静，善于思考的习惯。
　　笛卡儿1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位。1616年笛卡儿结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。
　　这期间有几次经历对他产生了重大的影响。一次，笛卡儿在街上散步，偶然间看到了一张数学题悬赏的启事。两天后，笛卡儿竟然把那个问题解答出来了，引起了著名学者伊萨克·皮克曼的注意。皮克曼向笛卡儿介绍了数学的最新发展，给了他许多有待研究的问题。
　　与皮克曼的交往，使笛卡儿对自己的数学和科学能力有了较充分的认识，他开始认真探寻是否存在一种类似于数学的、具有普遍使用性的方法，以期获取真正的知识。
　　据说，笛卡儿曾在一个晚上做了三个奇特的梦。第一个梦是，笛卡儿被风暴吹到一个风力吹不到的地方；第二个梦是他得到了打开自然宝库的钥匙；第三个梦是他开辟了通向真正知识的道路。这三个奇特的梦增强了他创立新学说的信心。这一天是笛卡儿思想上的一个转折点，有些学者 也把这一天定为解析几何的诞生日。
　　然而长期的军旅生活使笛卡儿感到疲惫，他于1621年回国，时值法莫道不消魂国内乱，于是他去荷兰、瑞士、意大利等地旅行。1625年返回巴黎，1628年移居荷兰。
　　在荷兰长达20多年的时间里，笛卡尔对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深入的研究，并通过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的主要著作几乎都是在荷兰完成的。
　　1628年，笛卡尔写出《指导哲理之原则》，1634年完成了以哥白尼学说为基础的《论世界》。书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的一些看法。1637年，笛卡儿用法文写成三篇论文《折光学》、《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法莫道不消魂论》，哲学史上简称为《方法莫道不消魂论》，6月8日在莱顿匿名出版。1641年出版了《形而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等重要著作。
　　笛卡儿（Descartes,René）,法莫道不消魂国数学家、科学家和哲学家。他是西方近代资产阶半夜凉初透级哲学奠基人之一。他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”
　　笛卡儿出生于法莫道不消魂国，父亲是法莫道不消魂国一个地方法院的评议员，相当于现在的律师和法官。一岁时母亲去世，给笛卡儿留下了一笔遗产，为日后他从事自己喜爱的工作提供了可靠的经济保障。8岁时他进入一所耶稣会学校，在校学习8年，接受了传统的文化教育，读了古典文学、历史、神学、哲学、法学、医学、数学及其他自然科学。但他对所学的东西颇感失望。因为在他看来教科书中那些微妙的论证，其实不过是模棱两可甚至前后矛盾的理论，只能使他顿生怀疑而无从得到确凿的知识，惟一给他安慰的是数学。在结束学业时他暗下决心：不再死钻书本学问，而要向“世界这本大书”讨教，于是他决定避开战争，远离社交活动频繁的都市，寻找一处适于研究的环境。1628年，他从巴黎移居荷兰，开始了长达20年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。在荷兰长达20年的时间里，他集中精力做了大量的研究工作，在1634年写了《论世界》，书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的看法。1641年出版了《行而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等。他的著作在生前就遭到教会指责，死后又被梵蒂冈教皇列为禁莫道不消魂书，但这并没有阻止他的思想的传播。
　　笛卡儿不仅在哲学领域里开辟了一条新的道路，同时笛卡儿又是一勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域都有值得称道的创见，特别是在数学上他创立了解析几何，从而打开了近代数学的大门，在科学史上具有划时代的意义。
　　笛卡儿的主要数学成果集中在他的“几何学”中。当时，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在笛卡儿之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡儿站在方法莫道不消魂论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。1637年，笛卡儿发表了《几何学》，创立了直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡儿用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形（包括点、线、面）和“数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折--由常量数学进入变量数学的时期。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。笛卡儿的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。
　　笛卡儿在其他科学领域的成就同样累累硕果。笛卡儿靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献。从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究。他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分。笛卡儿坚信光是“即时”传播的，他在著作《论人》和《哲学原理》中，完整的阐发了关于光的本性的概念。他还从理论上推导了折射定律，与荷兰的斯涅耳共同分享发现光的折射定律的荣誉。他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜。在力学方面，他提出了宇宙间运动量总和是常数的观点，创造了运动量守恒定律，为能量守恒定律奠定了基础。他还指出，一个物体若不受外力作用，将沿直线匀速运动。
　　笛卡儿在其他的科学领域还有不少值得称道的创见。他发展了宇宙演化论，创立了漩涡说。他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转。物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星。笛卡儿的这一太阳起源的旋涡说，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论。他还提出了刺激反应说，为生理学做出了一定的贡献。
　　笛卡儿近代科学的始祖。笛卡儿是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
　　1649年冬，笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课。由于他身体孱弱，不能适应那里的气候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝。终年54岁。1799年法莫道不消魂国大革莫道不消魂命后，笛卡儿的骨灰被送到了法莫道不消魂国历史博物馆。

编辑本段二、笛卡儿的成就

　　笛卡儿在科学上的贡献是多方面的。但他的哲学思想和方法莫道不消魂论，在其一生活动中则占有更重要的地位。他的哲学思想对后来的哲学和科学的发展，产生了极大的影响。
　　◆哲学方面：
　　笛卡儿强调科学的目的在于造福人类，使人成为自然界的主人和统治者。他反对经院哲学和神学，提出怀疑一切的“系统怀疑的方法”。但他还提出了“我思故我在”的原则，强调不能怀疑以思维为其属性的独立的精神实体的存在，并论证以广延为其属性的独立物质实体的存在。他认为上述两实体都是有限实体，把它们并列起来，这说明了在形而上学或本体论上，他是典型的二元论者。笛卡儿还企图证明无限实体，即上帝的存在。他认为上帝是有限实体的创造者和终极的原因。笛卡儿的认识论基本上是唯心主义的。他主张唯理论，把几何学的推理方法和演绎法应用于哲学上，认为清晰明白的概念就是真理，提出“天赋观念”。
　　笛卡儿的自然哲学观同亚里士多德的学说是完全对立的。他认为，所有物质的东西，都是为同一机械规律所支配的机器，甚至人体也是如此。同时他又认为，除了机械的世界外，还有一个精神世界存在，这种二元论的观点后来成了欧洲人的根本思想方法。
　　最著名的思想就是＂我思故我在＂。意思是：“当我怀疑一切事物的存在时，我却不用怀疑我本身的思想，因为此时我唯一可以确定的事就是我自己思想的存在”。这句被Descartes当作自己的哲学体系的出发点的名言，在过去的东欧和现在的中国学界都被认为是极端主观唯心主义的总代表，而遭到严厉的批判。很多人甚至以“存在必先于意识”、“没有肉体便不能有思想”等为论据，认为Descartes是“本末倒置”、“荒唐可笑”。Descartes的怀疑不是对某些具体事物、具体原理的怀疑，而是对人类、对世界、对上帝的绝对的怀疑。从这个绝对的怀疑，Descartes要引导出不容置疑的哲学的原则。
　　◆物理学方面
　　笛卡儿靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献。从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究。他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分。
　　笛卡儿运用他的坐标几何学从事光学研究,在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证。他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律；不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论。他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜。
　　在力学上，笛卡儿发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理。
　　笛卡儿在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止。这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性。
　　在这一章中，他还第一次明确地提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变。笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件。
　　◆天文学方面
　　笛卡儿把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说。他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解。他创立了漩涡说。他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转。物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星。
　　他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质旋涡对天体的压力，在各种大小不同的旋涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用。笛卡儿的太阳起源的以太旋涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论。
　　笛卡儿的天体演化说、旋涡模型和近距作用观点，正如他的整个思想体系一样，一方面以丰富的物理思想和严密的科学方法为特色，起着反对经院哲学、启发科学思维、推动当时自然科学前进的作用，对许多自然科学家的思想产生深远的影响；而另一方面又经常停留在直观和定性阶段，不是从定量的实验事实出发，因而一些具体结论往往有很多缺陷，成为后来牛顿物理学的主要对立面，导致了广泛的争论
　　◆数学方面
　　笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一。

编辑本段三、解析几何的诞生

　　文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学。利学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”。
　　在《几何学》卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。
　　笛卡儿把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。
　　在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。
　　《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学阶段。
　　在卷三中，笛卡儿指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡儿符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数(他称为假根)等于符号不变的次数。笛卡儿还改进了韦达创造的符号系统，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量。
　　解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。
　　正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”

编辑本段四、笛卡儿对后世的影响及对其的评价

　　笛卡儿在哲学上是二元论者，并把上帝看作造物主。但笛卡儿在自然科学范围内却是一个机械论者，这在当时是有进步意义的。
　　笛卡儿是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。
　　笛卡儿的方法莫道不消魂论对于后来物理学的发展有重要的影响。他在古代演绎方法的基础上创立了一种以数学为基础的演绎法：以唯理论为根据，从自明的直观公理出发，运用数学的逻辑演绎，推出结论。这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来,经过惠更斯和牛顿等人的综合运用，成为物理学特别是理论物理学的重要方法。作为他的普遍方法的一个最成功的例子，是笛卡儿运用代数的方法的来解决几何问题，确立了坐标几何学即解析几何学的基础。
　　笛卡儿的方法莫道不消魂论中还有两点值得注意。第一，他善于运用直观“模型”来说明物理现象。例如利用“网球”模型说明光的折射；用“盲人的手杖”来形象地比喻光信息沿物质作瞬时传输；用盛水的玻璃球来模拟并成功地解释了虹霓现象等。第二，他提倡运用假设和假说的方法，如宇宙结构论中的旋涡说。此外他还提出“普遍怀疑”原则。这一原则在当时的历史条件下对于反对教会统治、反对崇尚权威、提倡理性、提倡科学起过很大作用 。
　　笛卡儿堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。

　　费马(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665）法莫道不消魂国数学家，被誉为“业余数学家之王。”

编辑本段【费马的生平】

　　费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法莫道不消魂国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。
　　费马的父亲由于富有和经营有道，颇受人们尊敬，并因此获得了地方事务顾问的头衔，但费马小的时候并没有因为家境的富裕而产生多少优越感。费马的母亲名叫克拉莱·德·罗格，出身穿袍贵族。多米尼克的大富与罗格的大贵族构筑了费马极富贵的身价。
　　费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
　　17世纪的法莫道不消魂国，男子最讲究的职业是当律师，因此，男子学习法律成为时髦，也使人敬羡。有趣的是，法莫道不消魂国为那些有产的而缺少资历的“准律师”尽快成为律师创造了很好的条件。1523年，佛朗期瓦一世组织成立了一个专门鬻卖官爵的机关，公开出售官职。这种官职鬻卖的社会现象一经产生，便应时代的需要而一发不可收拾，且弥留今日。
　　鬻卖官职，一方面迎合了那些富有者，使其获得官位从而提高社会地位，另一方面也使政府的财政状况得以好转。因此到了17世纪，除宫廷官和军官以外的任何官职都可以买卖了。直到今日，法院的书记官、公证人、传达人等职务，仍没有完全摆脱买卖性质。法莫道不消魂国的买官特产，使许多中产阶半夜凉初透级从中受惠，费马也不例外。费马尚没有大学毕业，便在博蒙·德·洛马涅买好了“律师”和“参议员”的职位。等到费马毕业返回家乡以后，他便很容易地当上了图卢兹议会的议员，时值1631年。
　　尽管费马从步入社会直到去世都没有失去官职，而且逐年得到提升，但是据记载，费马并没有什么政绩，应付官半夜凉初透场的能力也极普通，更谈不上什么领佳节又重阳导才能。不过，费马并未因此而中断升迁。在费马任了七年地方议会议员之后，升任了调查参议员，这个官职有权对行政当局进行调查和提出质疑。
　　1642年，有一位权威人士叫勃里斯亚斯，他是最高法院顾问。勃里斯亚斯推荐费马进入了最高刑事法庭和法莫道不消魂国大理院主要法庭，这使得费马以后得到了更好的升迁机会。1646年，费马升任议会首席发瑞脑消金兽言人，以后还当过天主教联盟的主人比黄花瘦席等职。费马的官半夜凉初透场生涯没有什么突出政绩值得称道，不过费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。
　　费马的婚姻使费马跻身于穿袍贵族的行列，费马娶了他的舅表妹露伊丝·德·罗格。原本就为母亲的贵族血统而感骄傲的费马，如今干脆在自己的姓名上加上了贵族姓氏的标志“de”。
　　费马生有三女二男，除了大女儿克拉莱出嫁之外，四个子女都使费马感到体面。两个女儿当上了牧师，次子当上了菲玛雷斯的副主教。尤其是长子克莱曼特·萨摩尔，他不仅继承了费马的公职，在1665年当上了律师，而且还整理了费马的数学论著。如果不是费马长子积极出版费马的数学论著，很难说费马能对数学产生如此重大的影响，因为大部分论文都是在费马死后，由其长子负责发表的。从这个意义上说，萨摩尔也称得上是费马事业上的继承人。
　　费马一生身体健康，只是在1652年的瘟疫中险些丧命。1665年元旦一过，费马开始感到身体有变，因此于1月l0日停职。第三天，费马去世。费马被安葬在卡斯特雷斯公墓，后来改葬在图卢兹的家族墓地中。

编辑本段【费马其人】

　　费马生性内向，谦抑好静，不善推销自己，不善展示自我。因此他生前极少发表自己的论著，连一部完整的著作也没有出版。他发表的一些文章，也总是隐姓埋名。《数学论集》还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐。
　　对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。

编辑本段【费马的主要贡献】

　　◆对解析几何的贡献
　　费马独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。
　　1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。
　　费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是《平面与立体轨迹引论》的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。
　　《平面与立体轨迹引论》中道出了费马的发现。他指出：“两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”费马的发现比笛卡尔发现解析几何的基本原理还早七年。费马在书中还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。
　　笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。
　　在1643年的一封信里，费马也谈到了他的解析几何思想。他谈到了柱面、椭圆抛物面、双叶双曲面和椭球面，指出：含有三个未知量的方程表示一个曲面，并对此做了进一步地研究。
　　◆对微积分的贡献
　　
　　16、17世纪，微积分是继解析几何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛顿和莱布尼茨是微积分的缔造者，并且在其之前，至少有数十位科学家为微积分的发明做了奠基性的工作。但在诸多先驱者当中，费马仍然值得一提，主要原因是他为微积分概念的引出提供了与现代形式最接近的启示，以致于在微积分领域，在牛顿和莱布尼茨之后再加上费马作为创立者，也会得到数学界的认可。
　　曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。这项工作较为古老，最早可追溯到古希腊时期。阿基米德为求出一条曲线所包任意图形的面积，曾借助于穷竭法。由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。由于开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷大和无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为自卡瓦列里到费马以来的数学家开辟厂一个十分广阔的思考空间。
　　费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。
　　◆对概率论的贡献
　　早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法莫道不消魂国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
　　费马考虑到四次赌博可能的结局有2×2×2×2＝16种，除了一种结局即四次赌博都让对手赢以外，其余情况都是第一个赌徒获胜。费马此时还没有使用概率一词，但他却得出了使第一个赌徒赢得概率是15／16，即有利情形数与所有可能情形数的比。这个条件在组合问题中一般均能满足，例如纸牌游戏，掷银子和从罐子里模球。其实，这项研究为概率的数学模型一概率空间的抽象奠定了博弈基础，尽管这种总结是到了1933年才由柯尔莫戈罗夫作出的。
　　费马和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。
　　一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了。费马的贡献便在于此。
　　◆对数论的贡献
　　17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。
　　费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有：
　　费马大定理：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由美国数学家证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！
　　费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数，它的证明比较简单。事实上它是Euler定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数（它的表达式欧拉已经得出，可以在“Euler公式"这个词条里找到）。
　　另外还有：
　　(1)全部素数可分为4n+1和4n+3两种形式。
　　(2)形如4n+1的素数能够，而且只能够以一种方式表为两个平方数之和。
　　(3)没有一个形如4n+3的素数，能表示为两个平方数之和。
　　(4)形如4n+1的素数能够且只能够作为一个直角边为整数的直角三角形的斜边；4n+1的平方是且只能是两个这种直角三角形的斜边；类似地，4n+1的m次方是且只能是m个这种直角三角形的斜边。
　　(5)边长为有理数的直角三角形的面积不可能是一个平方数。
　　(6)4n+1形的素数与它的平方都只能以一种方式表达为两个平方数之和；它的3次和4次方都只能以两种表达为两个平方数之和；5次和6次方都只能以3种方式表达为两个平方数之和，以此类推，直至无穷。
　　(7)发现了第二对亲和数：17296和18416。
　　十六世纪，已经有人认为自然数里就仅有一对亲和数：220和284。有一些无聊之士，甚至给亲和数抹上迷信色彩或者增添神秘感，编出了许许多多神话故事。还宣传这对亲和数在魔术、法术、占星术和占卦上都有重要作用等等。
　　距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法莫道不消魂国“业余数学家之王”费马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。两年之后，“解析几何之父”——法莫道不消魂国数学家笛卡尔](René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。
　　◆对光学的贡献
　　费马在光学中突出的贡献是提出最小作用原理，也叫最短时间作用原理。这个原理的提出源远流长。早在古希腊时期，欧几里得就提出了光的直线传播定律相反射定律。后由海伦揭示了这两个定律的理论实质——光线取最短路径。经过若干年后，这个定律逐渐被扩展成自然法则，并进而成为一种哲学观念。—个更为一般的“大自然以最短捷的可能途径行动”的结论最终得出来，并影响了费马。费马的高明之处则在于变这种的哲学的观念为科学理论。
　　费马同时讨论了光在逐点变化的介质中行径时，其路径取极小的曲线的情形。并用最小作用原理解释了一些问题。这给许多数学家以很大的鼓舞。尤其是欧拉，竞用变分法技巧把这个原理用于求函数的极值。这直接导致了拉格朗日的成就，给出了最小作用原理的具体形式：对一个质点而言，其质量、速度和两个固定点之间的距离的乘积之积分是一个极大值和极小值；即对该质点所取的实际路径来说，必须是极大或极小。

编辑本段【费马的错误贡献】

　　费马说他发现形如Fn=2^(2^n)+1的数全是素数，当n=0~4时，3，5，17，257，65537都是素数，但n=5时，4294967297=641*6700417却是个合数，并且以后被发现的数都是合数，最大的是n=1495时的Fn。

编辑本段【对费马的评价】

　　费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法莫道不消魂国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学天才费马堪称是17世纪法莫道不消魂国最伟大的数学家之一。

　　柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法莫道不消魂国波旁王朝的官半夜凉初透员，在法莫道不消魂国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
　　他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法莫道不消魂国科学院''会刊''创刊的时候，由於柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能有四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其它地方。
　　柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法莫道不消魂国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分常识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。
　　柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。
　　柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于1811及1812年向科学院提交了两篇论文，其中主要成果是：
　　(1)证明了凸正多面体只有五种(面数分别是4，6，8，12，20)，星形正多面体只有四种(面数是12的三种，面数是20的一种)。
　　(2)得到了欧拉关于多面体的顶点、面和棱的个数关系式的另一证明并加以推广。
　　(3)证明了各面固定的多面体必然是固定的，从此可导出从未证明过的欧几里得的一个定理。
　　这两篇论文在数学界造成了极大的影响。柯西在瑟堡由于工作劳累生病，于1812年回到巴黎他的父母家中休养。
　　柯西于1813年在巴黎被任命为运河工程的工程师，他在巴黎休养和担任工程师期间，继续潜心研究数学并且参加学术活动。这一时期他的主要贡献是：
　　(1)研究代换理论，发表了代换理论和群论在历史上的基本论文。
　　(2)证明了费马关于多角形数的猜测，即任何正整数是个角形数的和。这一猜测当时已提出了一百多年，经过许多数学家研究，都没有能够解决。以上两项研究是柯西在瑟堡时开始进行的。
　　(3)用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。
　　(4)研究液体表面波的传播问题，得到流体力学中的一些经典结果，于1815年得法莫道不消魂国科学院数学大奖。
　　以上突出成果的发表给柯西带来了很高的声誉，他成为当时一位国际上著名的青年数学家。
　　1815年法莫道不消魂国拿破仑失败，波旁王朝复辟，路易十八当上了法王。柯西于1816年先后被任命为法莫道不消魂国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。这一时期他的主要贡献是：
　　(1)在综合工科学校讲授分析课程，建立了微积分的基础极限理论，还阐明了极限理论。在此以前，微积分和级数的概念是模糊不清的。由于柯西的讲法与传统方式不同，当时学校师生对他提出了许多非议。
　　柯西在这一时期出版的著作有《代数分析教程》、《无穷小分析教程概要》和《微积分在几何中应用教程》。这些工作为微积分奠定了基础，促进了数学的发展，成为数学教程的典范。
　　(2)柯西在担任巴黎大学力学教授后，重新研究连续介质力学。在1822年的一篇论文中，他建立了弹性理论的基础。
　　(3)继续研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等。
　　他的大量论文分别在法莫道不消魂国科学院论文集和他自己编写的期刊“数学习题”上发表。
　　1830年法莫道不消魂国爆发了推翻波旁王朝的革莫道不消魂命，法王查理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易·菲力浦继任法王。当时规定在法莫道不消魂国担任公职必须宣誓对新法王效忠，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法莫道不消魂国。他先到瑞士，后于1832～1833年任意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法)，并为此作出重要贡献。
　　1833～1838年柯西先在布拉格、后在戈尔兹担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后被授予“男爵”封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。
　　1838年柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法莫道不消魂国科学院报告“和他自己编写的期刊分析及数学物理习题”上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。
　　1848年法莫道不消魂国又爆发了革莫道不消魂命，路易·菲力浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对法王效忠的宣誓。柯西于1848年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法莫道不消魂国高等学校中断了18年的教学工作。
　　1852年拿破仑第三发动政变，法莫道不消魂国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和物理学家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。
　　1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最後一句话是：
　　''人总是要死的，但是，他们的功绩永存''
　　柯西是一位多产的数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。他的主要贡献如下；
　　(一)单复变函数
　　柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。
　　(二)分析基础
　　柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。
　　在柯西的著作中，没有通行的语言，他的说法看来也不够确切，从而有时也有错误，例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分的原理，他的概念主要是正确的，其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的，他首先准确地证明了泰勒公式，他给出了级数收敛的定义和一些判别法。
　　(三)常微分方程
　　柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前，没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法，即柯西—利普希茨法，逐渐逼近法和强级数法，实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级数，可以证明逼近步骤收敛，其极限就是方程的所求解。
　　(四)其他贡献
　　虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。除以上所述外，他在数学中其他贡献如下：
　　1．分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念；认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。
　　2．几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。
　　3．代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值；与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果；独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。

　　法莫道不消魂国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

拉格朗日生平

　　拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法莫道不消魂国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
　　到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。
　　18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。
　　1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。
　　1764年，法莫道不消魂国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。
　　1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。
　　1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。
　　这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法莫道不消魂国度量衡统一问题的委员会，并出任法莫道不消魂国米制委员会主任。1799年，法莫道不消魂国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。
　　1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法莫道不消魂国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主人比黄花瘦席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。
　　1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

编辑本段拉格朗日的科学成就

　　拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。
　　拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法莫道不消魂国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
　　在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。
　　他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。
　　在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。
　　在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。
　　拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。
　　他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。
　　拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。
　　近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。

编辑本段“三Ｌ”

　　法莫道不消魂国１８世纪后期到１９世纪初数学界著名的三个人物——拉格朗日（josephlouislagrange)、拉普拉斯（pierre-simonlaplace)和勒让德（adrien-marielegendre)。因为他们三个的姓氏的第一个字母为“Ｌ”，又生活在同一时代，所以人们称他们为“三Ｌ”。
　　拉格朗日，J．L．(Lagrange，Joseph Louis) 1736年1月25日生于意大利都灵；1813年4月11日卒于法莫道不消魂国巴黎．数学、力学、天文学．
　　拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia)．拉格明日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普•洛德维科•拉格朗日亚(Giuseppe Lodovico，Lagrangia)．父名弗朗切斯科•洛德维科•拉格朗日亚(Francesco Lodovico， Lagrangia)；母名泰雷萨•格罗索(Teresa Grosso)．他曾用过的姓有德•拉•格朗日(De la Grange)，拉•格朗日(La Grange)等．去世后，法兰研究院给他写的颂词中，正式用现在姓名．
　　父系为法莫道不消魂国后裔．曾祖是法莫道不消魂国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚．父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大．
　　据拉格朗日本人回忆，如幼年家境富裕，可能不会作数学研究．父亲有一条家规：必须有一子继任他的职业，拉格朗日也不反对．但到青年时代，在数学家F．A．雷维里(Revelli)指导下学几何学后，萌发了他的数学天才．17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析．
　　18岁时(1754)，他曾用意大利语写出第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商．寄给数学家G．法尼亚诺(Fagnano)，并用拉丁语写出寄给在柏林的L．欧拉(Euler)．可是当年8月他看到了公布的G．莱布尼兹(Leibniz)同J．伯努利(Bernoulli)的通信，正是这个内容，即后来的莱布尼兹公式．此不幸开端并未使拉格朗日灰心，9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线，并于年底开始研究变分极值问题．
　　拉格朗日在1755年8月12日写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中，给出了用纯分析方法求变分极值的提要；欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值．他本人也认为这是第一篇有意义的论文，对变分法创立有贡献．此成果使他在都灵出名．9月28日，年仅19岁的拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学校教授．从此走向数学研究的道路，逐步成为当时第一流的科学家，在数学、力学和天文学中都做出了历史性的重大贡献．其学术生涯自然地可分为三个时期．
　　都灵时期(1766年以前)．拉格朗日任数学教授后，积极进行研究．1756年给欧拉的信中，开始把变分法用于力学，还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题．欧拉把信送交上级P．莫培督(Maupertuis)和科学院院长．莫培督看到拉格朗日是他的最小作用原理的支持者、建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授，条件比都灵优越，但拉格朗日谢绝．同年8月，他被任命为普鲁土科学院通讯院士，9月2日选为副院士．
　　1757年，以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家，成立了一个科学协会，即都灵皇家科学院的前身．并从1759年开始，用拉丁语和法语出版学术刊物《都灵科学论丛》(Miscellanea Taurine- nsia，法语名Mélanges de Turin)．前三卷刊登了拉格朗日几乎全部在都灵时期的论文．其中有关变分法、分析力学、声音传播、常微分方程解法、月球天平动、木卫运动等方面的成果都是当时最出色的，为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础．此外他在岁差章动，大行星运动方面也有重要贡献．
　　1763年11月，都灵王朝代表去伦敦赴任时，带拉格朗日到巴黎．受到巴黎科学院的热烈欢迎，并初次会见J．R．达朗贝尔(d’Alembert)．在巴黎停留六周后病倒，不能去伦敦．康复后遵照达朗贝尔意见，回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D．伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F．伏尔泰(Voltaire)，他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发．
　　回到都灵后，拉格朗日的声望更高．朝野都认为他在都灵不能发挥才能．1765年秋，达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世，热情赞扬拉格朗日，并建议在柏林给拉格朗日一个职位．国王同意后通知拉格朗日．但他回信表示不愿与欧拉争职位．1766年3月，达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林，并请他担任留下的职位．拉格朗日决定接受．待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，于8月21日离开都灵．
　　柏林时期(1766—1787)．去柏林途经巴黎时，拉格朗日与达朗贝尔合作两周，于10月27日到达柏林．11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任．他很快就与院内主要骨干友好相处，如J．伯努利(Johann BernoulliⅢ)等．
　　1767年9月，拉格朗日同维多利亚•孔蒂(Vittoria Conti)结婚．他给达朗贝尔的信中说：“我的妻子是我的一个表妹，曾与我家人一起生活很长时期，是一个很好的家庭妇女．”但她体弱多病，未生小孩，久病后于1783年去世．
　　在普鲁士科学院，拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文，内容一般在《科学院文献》(Mémoires des l'Academie royale des scien-ces)以及《柏林科学院新文献》(Nouveaux memoires de l'Academie des Berlin)上发表．他还接受达朗贝尔的建议，经常参加巴黎科学院竞赛课题研究，并获得1772，1774，1776，1780年度的奖金．
　　拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，多数论文在上述两刊物中发表，少量仍寄回都灵．其中有关月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学、数论、方程论、微分方程、函数论等方面的成果，成为这些领域的开创性或奠基性研究．此外，还在概率论、循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献．他还翻译了欧拉和A．棣莫弗(De Moivre)的著作． 1782年给P．拉普拉斯(Laplace)的信中说：“我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique)，但无法出版．”拉普拉斯安排在巴黎出版，出书时已是1788年，拉格朗日已到巴黎了．此书成为分析力学的奠基著作．
　　1783年，老家建立“都灵科学院”，任命拉格朗日为名誉院长．原出版刊物改为《都灵科学院综合论丛》(Mélanges des l’Acade-mie des sciences des Turin)．拉格朗日也常寄论文回去发表．到1786年8月，因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世，决定离开柏林．他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法莫道不消魂国．
　　巴黎时期(1787—1813)．拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作．由于他从1772年起就是该院副院土，这次来工作受到了更热情的欢迎，可惜达朗贝尔已在1783年去世．
　　到巴黎的前几年，他主要学习更广泛的知识，如形而上学、历史、宗教、医药和植物学等．1789年爆发资产阶半夜凉初透级革莫道不消魂命，他只是有兴趣地旁观．1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法，科学院建立相应的“度量衡委员会”，拉格朗日为委员之一．8月8日，国民议会决定对科学院专人比黄花瘦政，三个月后又决定把A．L．拉瓦锡(Lavoisier)，拉普拉斯，C．A．库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院．但拉格朗日被保留，并任度量衡委员会主人比黄花瘦席．
　　1792年，丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Renée-Francoise- Adelaide)结婚，虽未生儿女，但家庭幸福．
　　1793年9月政府决定 ** 所有在敌国出生的人，经拉瓦锡竭力向当局说明后，把拉格朗日作为例外．1795年成立国家经度局，统一管理全国航海、天文研究和度量衡委员会，拉格朗日是委员之一．同年成立的两个法莫道不消魂国最高学府：师范学校和综合工科学校中，拉格朗日等为首批教授．在取消对科学院的专人比黄花瘦政后，1795年建立了法莫道不消魂国最高学术机构——法兰西研究院，选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会主人比黄花瘦席．此后他才重新进行研究工作，但主要是整理过去的工作，并结合教材编写完成一批重要著作．
　　《分析力学论述》于1788年出版后，拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况．他在1810年前发表的一些论文，
　　如在《法兰西学院文献》(Memoires de l' Institute)中刊登的“关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论”(Memoirs sur
　　la théorie génèrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problèmes de la mécanique，1809年3月宣读)等，都是为修改出第二版作准备．第二版更名为《分析力学》(Mé-canique analytique)，分两卷，上卷于1811年出版，下卷直到1816年才印出，拉格朗日已去世三年．
　　他在师范学校的教材《师范学校数学基础教程》(Les le consélèmentaires sur les Mathématique donnés à l' cole Normale)于1796年出版，后来收进《拉格朗日文集》(Oeuvres de Lagrange，下面简称《文集》)，第七卷的内容他在1812年作过大量充实．
　　1798年出版的《论任意阶数值方程的解法》(Traité de la ré-solution des éqnations numériques de tous les degrés)，总结了早年在方程式论方面的成果，并加以系统化，充实后于1808年再版．
　　关于函数论方面他出版了两本历史性著作．一是《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或用在消失的量，或极限与流数等概念，而扫结为代数分析艺术》(Theorie des fonctionsanalytiques，contenant les principes du calcul diffèrentiel dégagés de toute considération d'infiniment petits， d'éranouissa-nts， de limites et de fluxions， et réduits à l'analyse algébrique de quantités finies)，1797年出版，1813年再版；另一本《函数计算教程》(Lecons sur le calcul des fonctions)， 1801年出版，由师范学校讲义改编．
　　1799年雾月政变后，拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会

拉格朗日

荣誉军团成员，封为伯爵；还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章．此时拉格朗日已重病在身，终于在4月11日晨逝世．在葬礼上，由议长拉普拉斯代表上议院，院长拉赛佩德(Lacépède)代表法兰西研究院致悼词．意大利各大学都举行了纪念活动，但柏林未进行任何活动，因当时普鲁士加入反法联盟．
　　主要贡献评述
　　拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力．全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇．
　　拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期．当对数学、物理学和天文学是自然科学主体．数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学．数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力．当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献．下面就拉格朗日的主要贡献分别评述．
　　数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分佳节又重阳裂为两派．英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法)，进展很快，当时叫分析学(analysis)．拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献．
　　1．变分法．这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果．他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)［2］是他研究变分法的序幕； 1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)［3］是用分析方法建立变分法的代表作．发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”(themethod of variation)．欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”(the calculus of variation)．变分法这个分支才真正建立起来．
　　拉格朗日方法是对积分
　　进行极值化，函数y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线
　　y(x)＋δy(x)，
　　δy(x)叫曲线y(x)的变分．J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J．他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程
　　他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．
　　2．微分方程．早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价．
　　在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)［22］中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的．
　　常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)［8］中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．
　　拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)［21］和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)［23］中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法．
　　他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．还对形如
　　的非线性方程，化为解线性方程
　　后来又进一步证明了解线性方程
　　Pp＋Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)
　　与解
　　等价，而解(6)式又与解常微分方程组
　　等价．(5)式至今仍称为拉格朗日方程．有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自己在1772年的结果．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服．
　　3．方程论．18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域．拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上．
　　他在代数方程解法中有历史性贡献．在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因．三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程．拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)．他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功．尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子．因而拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．
　　拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法．设p为方程
　　这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数．他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围．
　　4．数论．拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés［14］和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”(Solution d'un problème d'arithmetique)［15］中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程
　　x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)
　　不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)［16］中得到更一般的费马方程
　　x2-Ay2=B(B也为整数)(10)
　　的解．还讨论了更广泛的二元二次整系数方程
　　ax2＋2bxy＋cy2＋2dx＋2ey＋f=0，(11)
　　并解决了整数解问题．
　　拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”(De monstration d'un théorème d'arthmétique，《文集》Ⅲ，pp．189—201)中，把欧泣40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来．在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”(Démonstation d'un theorem nouveau concernant les nombres premiers)［17］中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！＋1能被n整除．
　　拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新．如在证明(9)式
　　研究”(Recherches d'arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp．695—795)中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献．
　　5．函数和无穷级数．同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广．他还试图用代数建立微积分的基础．在他的《解析函数论……》(《文集》Ⅸ)中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点．由于迥避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展．
　　拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理(书中第六章)
　　f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)
　　后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数，还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)
　　Rn就是著名的拉格朗日余项形式．他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的．虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零．表明他已注意到收 题．
　　他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础．
　　最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式
　　直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用．另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用．
　　除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意．尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(《文集》Ⅰ，p．325)．但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入．这可能是他晚年研究工作少的原因．他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它…．”(《文集》XⅢ368．)这说出了他和其他同事们的心情．事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展．
　　分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论．到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作．他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中．他的研究目的是使力学成为数学分析的分支．他在《分析力学》的序言中说：“…我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算．喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域．”实际情况正是这样．
　　拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法．
　　他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标．一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，…，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度．力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qj•qj和时间t的函数后，定义
　　为作用，最小作用原理成为δI=0．拉格朗日用变分法讨论δI=0时，导出了力学系统的运动方程为
　　其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力．如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为
　　(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程．后来S．D．泊松(Poisson)等引入函数
　　L就取名为拉格朗日函数．
　　拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体．在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法．
　　最后收集到《文集》中的《分析力学》是第二版，共分两卷，785页．第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题．从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状．第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”．
　　动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质．第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程．后面讨论了一阶近似的求积方法．第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题．第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学．第十章讨论地球自转和月球天平动．最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用．
　　拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段．拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程．在《分析力学》第二版印出(第二卷1816年)后不久，W．R．哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同K．G．雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域．
　　天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流．它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的．主要奠基者为欧拉，A．C．克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯．最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学．拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待．虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献．
　　首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程．其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l'action des planètes)［13］中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价．另外在一篇有关三体问题的获奖文章中［8］，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶．
　　在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解［8］，即拉格朗日平动解．其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形．他的这个理论结果在100多年后得到证实． 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星［后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588］，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形．到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名．有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群．1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名．至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的．1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明．至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定．另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(《文集》Ⅴ，pp．125—414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见《世界著名科学家传记•天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条)．此外，拉格朗日级数( 式在摄动理论中有广泛应用．
　　在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题．他的月球运动理论研究论文多次获奖．1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)［6］获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好．后来在1780年完成的论文解决得更好(参见《文集》Ⅴ，pp．5—123)．获1772年度奖的就是著名的三体问题论文［8］，也是针对月球运动研究写出的．获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur l’equation séculaire de la lune)［9］，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动．关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖．1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文［10，11，12，］其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响．1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇［13］．
　　获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究…”(Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…)［7］，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好．
　　拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法(《文集)》Ⅳ，pp．439—532)，所得结果成为轨道计算的基础．另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题．是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题(《文集》Ⅱ，pp．67—121)．这些模型现在仍在应用．有人用作人造卫星运动的近似力学模型．此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础．
　　总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯．他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响．
　　结束语
　　拉格朗日是18世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献．但他主要是数学家，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具．同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学(天体力学)更深入发展．由于历史的局限，严密性不够妨碍着他取得更多的成果．
　　拉格朗日的著作非常多，未能全部收集．他去世后，法兰西研究院集中了他留在学院内的全部著作，编辑出版了十四卷《拉格朗日文集》，由J．A．塞雷(Serret)主编，1867年出第一卷，到1892年才印出第十四卷．第一卷收集他在都灵时期的工作，发表在《论丛》第一到第四卷中的论文；第二卷收集他发表在《论丛》第四、五卷及《都灵科学院文献》第一、二卷中的论文；第三卷中有他在《柏林科学院文献》 1768—1769年， 1770—1773年发表的论文； 第四卷刊有他在《柏林科学院新文献》1774—1779年， 1781年，1783年发表的论文；第五卷刊载上述刊物1780—1783年，1785—1786年，1792年，1793年，1803年发表的论文；第六卷载有他未在巴黎科学院或法兰西研究院的刊物上发表过的文章；第七卷主要刊登他在师范学校的报告；第八卷为1808年完成的《各阶数值方程的解法莫道不消魂论述及代数方程式的几点说明》(Traité des équations numériquesde tous les degrés， avec des notes sur plusieurs points de lathéorie des equations algébriques)一书；第九卷是1813年再版的《解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术》一书；第十卷是1806年出版的《函数计算教程》一书；第十一卷是1811年出版的《分析力学》第一卷，并由J．贝特朗(Bertrand)和G．达布(Darboux)作了注释；第十二卷为《分析力学》的第二卷，仍由上述二人注释，此二卷书后来在巴黎重印(1965)；第十三卷刊载他同达朗贝尔的学术通讯；第十四卷是他同孔多塞，拉普拉斯，欧拉等人的学术通讯，此二卷都由L．拉朗(Lalanne)作注释．还计划出第十五卷，包含1892年以后找到的通讯，但未出版．

编辑本段简介

　　艾萨克·牛顿(1643年1月4日~1727年3月31日)爵士，英国皇家学会会员，（SirIsaacNewtonFRS)是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。他在1687年发表的论文《自然哲学的数学原理》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；从而消除了对太阳中心说的最后一丝疑虑，并推动了科学革莫道不消魂命。在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理。在光学上，他发明了反射式望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观
　　察，发展出了颜色的理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德•莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究作出了贡献。在2005年，皇家学会进行了一场“谁是科学史上最有影响力的人”的民瑞脑消金兽意调查中，牛顿被认为比阿尔伯特·爱因斯坦更具影响力。

编辑本段艾萨克·牛顿的名言

　　⑴I don't know what I may seem to the world,but,as to myself,I seem to have been only like a boy playing on the sea shore,and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary,whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.
　　--------Newton
　　译成中文：我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。
　　---------牛顿
　　⑵ If I can see a bit farther than some others, it is because I am standing on the shoulders of giants.
　　-- Newton
　　译成中文：如果说我比别人看得更远些,那是因为我站在了巨人的肩上.
　　——牛顿

编辑本段早年生活

　　按照现代的历法，1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落埃尔斯索普村的埃尔斯索普庄园。在牛顿出生之时，英格兰并没有采用教皇的最新历法，因此他的生日被记载为1642年的圣诞节。牛顿出生前三个月，他同样名为艾萨克的父亲才刚去世。由于早产的缘故，新生的牛顿十分瘦小；据传闻，他的母亲汉娜•艾斯库（Hannah Ayscough）曾说过，牛顿刚出生时小得可以把他装进一夸脱的马克杯中。当牛顿3岁时，他的母亲改嫁并住进了新丈夫巴纳巴斯·史密斯（Barnabus Smith）牧师的家，而把牛顿托付给了他的外祖母玛杰里•艾斯库（Margery Ayscough）。年幼的牛顿不喜欢他的继父，并因母亲嫁给他的事而对母亲持有一些敌意，牛顿甚至曾经“威胁我那姓史密斯的父母亲，要把他们连同房子一齐烧掉……”
　　据《大数学家》（Men of Mathematics，E·T·贝尔（E.T. Bell）着）和《数学史介绍》（An introduction to the history of mathematics，H·伊夫斯（H. Eves）着）两书记载： “牛顿在乡村学校开始学校教育的生活，后来被送到了格兰瑟姆的国王中学，并成为了该校最出色的学生。在国王中学时，他寄宿在当地的药剂师威廉·克拉克（William Clarke）家中，并在19岁前往牛津大学求学前，与药剂师的继女安妮·斯托勒（Anne Storer）订婚。之后因为牛顿专注于他的研究而使得爱情冷却，斯托勒小姐嫁给了别人。据说牛顿对这次的恋情保有一段美好的回忆，但此后便再也没有其他的罗曼史，牛顿也终生未娶。”
　　不过据和牛顿同时代的友人威廉•斯蒂克利（William Stukeley）所著的《艾萨克•牛顿爵士生平回忆录》（Memoirs of Sir Isaac Newton's Life）一书的描述，斯蒂克利在牛顿死后曾访问过文森特（Vincent）夫人，也就是当年牛顿的恋人斯托勒小姐。文森特夫人的名字叫作凯瑟琳，而不是安妮，安妮是她的妹妹（参见Arthur Storer），而且夫人仅表示牛顿当年寄宿时对她只不过是“怀有情愫”的程度而已。
　　从12 岁左右到17岁，牛顿都在国王中学学习，在该校图书馆的窗台上还可以看见他当年的签名。他曾从学校退学，并在1659年10月回到埃尔斯索普村，因为他再度守寡的母亲想让牛顿当一名农夫。牛顿虽然顺从了母亲的意思，但据牛顿的同侪后来的叙述，耕作工作让牛顿相当不快乐。所幸国王中学的校长亨利·斯托克斯（Henry Stokes）说服了牛顿的母亲，牛顿又被送回了学校以完成他的学业。他在18岁时完成了中学的学业，并得到了一份完美的毕业报告。
　　1661年6月，他进入了剑桥大学的三一学院。在那时，该学院的教学基于亚里士多德的学说，但牛顿更喜欢阅读一些笛卡尔等现代哲学家以及伽利略、哥白尼和开普勒等天文学家更先进的思想。 1665年，他发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟疫而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。

编辑本段中年生活

　　数学
　　大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒（Nicolas Fatio de Duillier）的联系十分密切，后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。 1691年，丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。 不过，在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候，丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。
　　在1699年初，皇家学会（牛顿也是其中的一员）的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。
　　牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。他发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转（revert）幂级数。他还发现了π的一个新公式。
　　他在1669年被授予卢卡斯数学教授席位。在那一天以前，剑桥或牛津的所有成员都是经过任命的圣公会牧师。不过，卢卡斯教授之职的条件要求其持有者不得活跃于教堂（大概是如此可让持有者把更多时间用于科学研究上）。牛顿认为应免除他担任神职工作的条件，这需要查理二世的许可，后者接受了牛顿的意见。这样避免了牛顿的宗教观点与圣公会信仰之间的冲突。
　　光学
　　从1670年到1672年，牛顿负责讲授光学。在此期间，他研究了光的折射，表明棱镜可以将白光发散为彩色光谱，而透镜和第二个棱镜可以将彩色光谱重组为白光。
　　他还通过分离出单色的光束，并将其照射到不同的物体上的实验，发现了色光不会改变自身的性质。牛顿还注意到，无论是反射、散射或发射，色光都会保持同样的颜色。因此，我们观察到的颜色是物体与特定有色光相合的结果，而不是物体产生颜色的结果。
　　从这项工作中，他得出了如下结论：任何折光式望远镜都会受到光散射成不同颜色的影响，并因此发明了反射式望远镜（现称作牛顿望远镜）来回避这个问题。他自己打磨镜片，使用牛顿环来检验镜片的光学品质，制造出了优于折光式望远镜的仪器，而这都主要归功于其大直径的镜片。1671年，他在皇家学会上展示了自己的反射式望远镜。皇家学会的兴趣鼓励了牛顿发表他关于色彩的笔记，这在后来扩大为《光学》（Opticks）一书。但当罗伯特•胡克批评了牛顿的某些观点后，牛顿对其很不满并退出了辩论会。两人自此以后成为了敌人，这一直持续到胡克去世。
　　牛顿认为光是由粒子或微粒组成的，并会因加速通过光密介质而折射，但他也不得不将它们与波联系起来，以解释光的衍射现象。而其后世的物理学家们则更加偏爱以纯粹的光波来解释衍射现象。现代的量子力学、光子以及波粒二象性的思想与牛顿对光的理解只有很小的相同点。
　　在1675年的著作《解释光属性的解说》（Hypothesis Explaining the Properties of Light）中，牛顿假定了以太的存在，认为粒子间力的传递是透过以太进行的。不过牛顿在与神智学家亨利•莫尔（Henry More）接触后重新燃起了对炼金术的兴趣，并改用源于汉密斯神智学（Hermeticism）中粒子相吸互斥思想的神秘力量来解释，替换了先前假设以太存在的看法。拥有许多牛顿炼金术著作的经济学大师约翰·梅纳德·凯恩斯曾说：“牛顿不是理性时代的第一人，他是最后的一位炼金术士。”但牛顿对炼金术的兴趣却与他对科学的贡献息息相关，而且在那个时代炼金术与科学也还没有明确的区别。如果他没有依靠神秘学思想来解释穿过真空的超距作用，他可能也不会发展出他的引力理论。 （参见艾萨克·牛顿的神秘学研究）
　　1704年，牛顿著成《光学》，其中他详述了光的粒子理论。他认为光是由非常微小的微粒组成的，而普通物质是由较粗微粒组成，并推测如果通过某种炼金术的转化“难道物质和光不能互相转变吗？物质不可能由进入其结构中的光粒子得到主要的动力（Activity）吗？牛顿还使用玻璃球制造了原始形式的摩擦静电发电机。
　　力学和引力
　　1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》（1684年）一书中，该书中包含有初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。
　　《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。该书中牛顿阐述了其后两百年间都被视作真理的三大运动定律。牛顿使用拉丁单词“gravitas”（沉重）来为现今的引力（gravity）命名，并定义了万有引力定律。在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。
　　由于《原理》的成就，牛顿得到了国际性的认可，并为他赢得了一大群支持者：牛顿与其中的瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒建立了非常亲密的关系，直到1693年他们的友谊破裂。这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。

编辑本段晚年生活

　　由于受时代的限制，牛顿基本上是一个形而上学的机械唯物主义者。他认为运动只是机械力学的运动，是空间位置的变化；宇宙和太阳一样是没有发展变化的；靠了万有引力的作用，恒星永远在一个固定不变的位置上……
　　随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升。1689年，他被当选为国会中的大学代表。作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学。他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶。同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上。
　　晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活，1705年他被安妮女王封为贵族。此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家。他担任英国皇家学会会长，在他任职的二十四年时间里，他以铁拳统治着学会。没有他的同意，任何人都不能被选举。
　　晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作。当他遇到难以解释的天体运动时，竟提出了“神的第一推动力”的谬论。他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”。
　　1727年3月20日，伟大艾萨克·牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着：
　　让人们欢呼这样一位多么伟大的
　　人类荣耀曾经在世界上存在。

编辑本段大事年表

　　1643年1月4日（旧历1642年12月25日）出生于林肯郡乌尔索普。
　　1655年 12岁 入格兰瑟姆中学学习。
　　1661年 19岁 6月15日入剑桥大学三一学院学习。
　　1665年 24岁 发现二项式定理。
　　1665年～1666年 24岁 因鼠疫流行回到家乡，对光学、力学、数学有多方面的研究和突破。
　　1668年 26岁 制成反射式望远镜。
　　1669年 27岁 著《论用无限项方程所作的分析》，任卢卡斯讲座教授。
　　1671年 29岁 著《级数和流数方法莫道不消魂论著》。
　　1672年 29岁 1月当选为皇家学会会员，宣读《关于光和颜色的理论》的论文。
　　1684年 42岁 会见哈雷，证明引力平方反比定律。
　　1686年～1687年 44岁 著《自然哲学的数学原理》。
　　1689年 47岁 母亲去世
　　1700年 57岁 发明六分仪。
　　1727年3月20日 80岁 逝世。

编辑本段牛顿的成就

　　力学方面的贡献
　　牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）：①任何物体在不受外力或所受外力的合力为零时，保持原有的运动状态不变，即原来静止的继续静止，原来运动的继续作匀速直线运动。②任何物体在外力作用下，运动状态发生改变，其动量随时间的变化率与所受的合外力成正比。通常可表述为：物体的加速度与所受的合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向一致。③当物体甲给物体乙一个作用力时，物体乙必然同时给物体甲一个反作用力，作用力和反作用力大小相等，方向相反，而且在同一直线上。这三个非常简单的物体运动定律，为力学奠定了坚实的基础，并对其他学科的发展产生了巨大影响。第一定律的内容伽利略曾提出过，后来R.笛卡儿作过形式上的改进，伽利略也曾非正式地提到第二定律的内容。第三定律的内容则是牛顿在总结C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的结果之后得出的。
　　牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665～1666年开始考虑这个问题。1679年，R·胡克在写给他的信中提出，引力应与距离平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是像牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。
　　牛顿把地球上物体的力学和天体力学统一到一个基本的力学体系中，创立了经典力学理论体系。正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律，实现了自然科学的第一次大统一。这是人类对自然界认识的一次飞跃。
　　牛顿指出流体粘性阻力与剪切率成正比。他说：流体部分之间由于缺乏润滑性而引起的阻力，如果其他都相同，与流体部分之间分离速度成比例。现在把符合这一规律的流体称为牛顿流体，其中包括最常见的水和空气，不符合这一规律的称为非牛顿流体。
　　在给出平板在气流中所受阻力时，牛顿对气体采用粒子模型，得到阻力与攻角正弦平方成正比的结论。这个结论一般地说并不正确，但由于牛顿的权威地位，后人曾长期奉为信条。20世纪，T·卡门在总结空气动力学的发展时曾风趣地说，牛顿使飞机晚一个世纪上天。
　　关于声的速度，牛顿正确地指出，声速与大气压力平方根成正比，与密度平方根成反比。但由于他把声传播当作等温过程，结果与实际不符，后来P.-S.拉普拉斯从绝热过程考虑，修正了牛顿的声速公式。
　　数学方面的贡献　
　　17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求出物体的瞬时速度与加速度？如何求曲线的切线及曲线长度（行星路程）、矢径扫过的面积、极大极小值（如近日点、远日点、最大射程等）、体积、重心、引力等等；尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题。当时笛卡儿的《几何学》和瓦里斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。他说的“差率”“变率”就是微分。与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了和拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学在大陆各国迅速推广。
　　微积分的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析（牛顿称之为“借助于无限多项方程的分析”），并进一步进进发展为微分几何、微分方程、变分法等等，这些又反过来促进了理论物理学的发展。例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲线的解答，这是变分法的最初始问题，半年内全欧数学家无人能解答。1697年，一天牛顿偶然听说此事，当天晚上一举解出，并匿名刊登在《哲学学报》上。伯努利惊异地说：“从这锋利的爪中我认出了雄狮”。
　　牛顿在前人工作的基础上，提出“流数(fluxion)法”，建立了二项式定理，并和G.W.莱布尼茨几乎同时创立了微积分学，得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，为数学的发展开辟了一个新纪元。
　　光学方面的贡献　
　　牛顿曾致力于颜色的现象和光的本性的研究。1666年，他用三棱镜研究日光，得出结论：白光是由不同颜色(即不同波长)的光混合而成的，不同波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大。牛顿的这一重要发现成为光谱分析的基础，揭示了光色的秘密。牛顿还曾把一个磨得很精、曲率半径较大的凸透镜的凸面，压在一个十分光洁的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接触点是一个暗点，周围则是明暗相间的同心圆圈。后人把这一现象称为“牛顿环”。他创立了光的“微粒说”，从一个侧面反映了光的运动性质，但牛顿对光的“波动说”并不持反对态度。1704年，他出版了《光学》一书，系统阐述他在光学方面的研究成果。
　　热学方面的贡献　
　　牛顿确定了冷却定律，即当物体表面与周围有温差时，单位时间内从单位面积上散失的热量与这一温差成正比。
　　天文学方面的贡献　
　　牛顿1672年创制了反射望远镜。他用质点间的万有引力证明，密度呈球对称的球体对外的引力都可以用同质量的质点放在中心的位置来代替。他还用万有引力原理说明潮汐的各种现象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有关，而且同太阳的方位有关。牛顿预半夜凉初透言地球不是正球体。岁差就是由于太阳对赤道突出部分的摄动造成的。
　　哲学方面的贡献
　　牛顿的哲学思想基本属于自发的唯物主义，他承认时间、空间的客观存在。如同历史上一切伟大人物一样，牛顿虽然对人类作出了巨大的贡献，但他也不能不受时代的限制。例如，他把时间、空间看作是同运动着的物质相脱离的东西，提出了所谓绝对时间和绝对空间的概念；他对那些暂时无法解释的自然现象归结为上帝的安排，提出一切行星都是在某种外来的“第一推动力”作用下才开始运动的说法。
　　《自然哲学的数学原理》牛顿最重要的著作，1687年出版。该书总结了他一生中许多重要发现和研究成果，其中包括上述关于物体运动的定律。他说，该书“所研究的主要是关于重、轻流体抵抗力及其他吸引运动的力的状况，所以我们研究的是自然哲学的数学原理。”该书传入中国后，中国数学家李善兰曾译出一部分，但未出版，译稿也遗失了。现有的中译本是数学家郑太朴翻译的，书名为《自然哲学之数学原理》，1931年商务印书馆初版，1957、1958年两次重印。
　　牛顿对自然的兴趣
　　由于牛顿在剑桥受到数学和自然科学的熏陶和培养，对探索自然现象产生极为浓厚的兴趣。就在1665～1666年这两年之内，他在自然科学领域内思潮奔腾，才华迸发，思考前人从未思考过的问题，踏进前人没有涉及的领域，创建前所未有的惊人业绩。1665年初他创立级数近似法以及把任何幂的二项式化为一个级数的规则。同年11月，创立正流数法（微分）；次年1月，研究颜色理论；5月，开始研究反流数法（积分）。这一年内，牛顿还开始想到研究重力问题，并想把重力理论推广到月球的运行轨道上去。他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比。牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，说的也是在此时发生的轶事。总之，在家乡居住的这两年中，牛顿以比此后任何时候更为旺盛的精力从事科学创造，并关心自然哲学问题。由此可见，牛顿一生的重大科学思想是在他青春年华、思想敏锐短短两年期间孕育、萌发和形成的。
　　1667年牛顿重返剑桥大学，10月1日被选为三一学院的仲院侣，次年3月16日选为正院侣。当时巴罗对牛顿的才能有充分认识。1669年10月27日巴罗便让年仅26岁的牛顿接替他担任卢卡斯讲座的教授。牛顿把他的光学讲稿(1670～1672年)、算术和代数讲稿(1673～1683年)《自然哲学的数学原理》（以下简称《原理》）的第一部分(1684～1685年)，还有《宇宙体系》(1687年)等手稿送到剑桥大学图书馆收藏。1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主人比黄花瘦席直到逝世。其间牛顿和国内外科学家通信最多的有R.玻意耳、J.柯林斯、J.夫拉姆斯蒂德、D.格雷果理、E·哈雷、胡克、C·惠更斯、G·W·F·von莱布尼兹和J·沃利斯等。牛顿在写作《原理》之后，厌倦大学教授生活，他得到在大学学生时代结识的一位贵族后裔C.蒙塔古的帮助，于1696年谋得造币厂监督职位，1699年升任厂长，1701年辞去剑桥大学工作。当时英国币制混乱，牛顿运用他的冶金知识，制造新币。因改革币制有功，1705年受封为爵士。晚年研究宗教，著有《圣经里两大错讹的历史考证》等文。牛顿于1727年3月31日（儒略历20日）在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂。
　　《光学》和反射式望远镜的发明，光学和力学一样，在古希腊时代就受到注意。用于天文观测的需要，光学仪器的制作很早就得到了发展，光的反射定律早在欧几里得时代已经闻名，但折射定律直到牛顿出生之前不久才为荷兰科学家W.斯涅耳所发现。玻璃的制作早已从阿拉伯辗转传入西欧。16世纪荷兰磨制透镜的手工业大兴。把透镜适当组合成一个系统就可成为显微镜或望远镜。这两种仪器的发明对科学发展起了重大作用。在牛顿之前，伽利略首先把他所制作的望远镜用在天象观测上。枷利略式的望远镜是以一片会聚透镜为目镜、一片发散透镜为物镜的望远镜。还有当时盛行的由两片会聚透镜组成的开普勒望远镜。两种望远镜都无法消除物镜的色散。牛顿发明以金属磨成的反射镜代替会聚透镜作为物镜，这样就避免了物镜的色散。当时牛顿制成的望远镜长6英寸，直径1英寸，放大率为30～40倍。经过改进，1671年他制作了第二架更大的反射式望远镜，并送到皇家学会评审。这台望远镜被皇家学会作为珍贵科学文物收藏起来。为了制造反射式望远镜，牛顿亲自冶炼合金和研磨镜面。牛顿自幼爱好动手制模型，做试验，这对他在光学实验上的成功有极大帮助。光的颜色问题早在公元前就有人在作猜测，把虹的光色和玻璃片的边缘形成的颜色联系起来。从亚里士多德以来到笛卡儿都认为白光是纯洁的、均匀的，是光的本质，而色光只是光的变种。他们都没像牛顿那样认真做过实验。

编辑本段思想

　　亚里士多德的哲学讲求事物的和谐，求和谐思想是正确的，但亚里士多德认为天上的日、月、星辰的运行轨道是圆形，因为只有圆运动才是完美的、和谐的，而地上的运动，例如重物直线下落是凡俗的。古希腊哲学家的和谐思想不能在天与地之间连贯。到了17世纪，牛顿用引力理论和运动三定律把天上行星和它们的卫星运动规律，同地上重力下坠的现象统一起来，实现了天上人间的统一，这是牛顿在自然哲学上的伟大贡献。众所周知，牛顿在理解光的本质上持微粒说。但他在同胡、惠更斯等讨论光的本质时，说光具有这种或那种本能激发以太的振动。这意味着以太是光振动的媒质（见以太论）。于此，似乎牛顿对光的双重性有所理解；其实不然，他对以太媒质之存在极似空气之无所不在，只是远为稀薄、微细而具有强有力的弹。他又申说，就是由于以太的动物气质才使肌肉收缩和伸长，动物得以运动。他又进一步以以太来解释光的反射与折射，透明与不透明，以及颜色的产生，他甚至于设想地球的引力是由于有如以大气质不断凝聚使然。《原理》第二编第六章诠释的结尾说，从记忆中他曾做实验倾向于以太充斥于所有物体的空隙之中的说法，虽然以太对于引力没有觉察的影响。14、15世纪以来欧洲的学者对以太着了迷，以太学说风靡一时。当时科学巨擘笛卡儿对以太存在深信不疑。他认为行星之运行可以以太旋涡来解释。以太学说成为一时哲学思潮。尊重实验的牛顿也不免卷入这股哲学思潮激流中去，倾向于它存在。当时人们对超距作用看法不一。牛顿曾经指出他的引力相互作用定律，并不认为是最终的解释，而只是从实验中归纳出来的一条规则。因此，牛顿并未就引力本质作出结论。
　　牛顿在科学上的成就须由他的哲学思想和科学方法来寻根求源。牛顿的学生R.科茨曾在《原理》第2版序言中道出了其中的奥妙。古希腊、罗马的哲学家凭着对自然现象的观察和思考(中国先秦时代也有类似之处)总结出论断，例如泰勒斯的学说：万物的根源是水。即使像德谟克利特、卢克莱修的原子论，现在来评价还是很高的。但是他们的方法凭天才的臆测、思维与辩论，称之为思辨哲学。到了中世，经院哲学统治着欧洲。科学、哲学沦为神学的奴婢。到15、16世纪，哥白尼、G.布鲁诺、伽利略等人不畏坐牢、火刑等坚持不屈地向教会作斗争，挣脱了侍奉上帝的桎梏。对自然现象的观察、测量和实验的风气逐渐形成了。在物理学科中伽利略的实验工作是实验物理学的开端，牛顿深受其影响。随后牛顿使作为实验科学的物理学形成一个光辉体系，同时也使科学实验方法闯入了哲学思想的殿堂。
　　牛顿认为从现象中可以得出科学原理，或者说科学基本原理可以从现象中导得或推出。牛顿在《原理》和《光学》两书中明白表达他的做学问的方法，即要明白无误地区别猜测、假设和实验结果（及由此而归纳得出的结论），还有从某些假设条件下所得到数学推导。《原理》第一编十四章中处理细微粒子的运动和第二编命题23中设想气体中有相互排斥质点的模型都是牛顿运用具有物理实质性的数学模型的例子，但是他对这些问题缺少实质性的实验证据，未能写出无可辩驳的论述。论者可能认为牛顿只注重从实验运用归纳法得出定律，而无视演绎法的重要性。这是有违事实的。1713年牛顿在出版《原理》第2版时在给他的学生科茨的信中提到运动定律是居于首位的定律或称之为公理，并说它们都是从现象中推断或称演绎而来的，并运用归纳法使之普适化。牛顿说：“这是一个命题在哲学中所能达到最高境界的例证。”诚然，必须看到归纳与演绎不能人为地对立起来。恩格斯指出“归纳和演绎正如分析和综合一样，是必然相互联系着的。不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去”。牛顿在此早着先鞭。关于实验与假设之间的关系，牛顿在各种场合都有论述。他在给奥尔登堡的信中说：“进行哲学研究的最好和最可靠的方法，看来第一是勤勤恳恳地探索事物的属性并用实验来证明这些属性。然后进而建立一些假说，用以解释这些事物的本性。”给科茨信中说：“任何不是从现象中推论出来的说法都应称之为假说，而这样一种假说无论是形而上学的还是物理学的，无论属于隐蔽性质的还是力学性质的，在实验哲学中都没有它们的地位。”牛顿这些论述奠定了自然哲学的基础，启开了实验科学的大门，300年来为自然科学的繁荣立下了不朽功勋。牛顿研究事物规律的方法不同于那些只从简单的物理假设出发的人，而是通过逻辑的演绎法得到对事物现象的解释。爱因斯坦指出：“牛顿才第一个成功地找到了一个用公式清楚表述的基础，从这基础出发他用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象并且同经验相符合。”“在牛顿之前还没有什么实际的结果支持那种认为物理因果关系有完整链条的信念。”牛顿是完整的物理因果关系创始人；而因果关系正是经典物理学的基石。牛顿出身于笃信基薄雾浓云愁永昼督教的家庭。在剑桥求学时代，他就怀着宗教生活里亦如科学实验一样可以自由自在的幻想和工作。《原理》完成后，他便着手有关基薄雾浓云愁永昼督教《圣经》的研究，并开始写这方面的著作，手稿达150万字之多，绝大部分未发表。可见牛顿在宗教著述上浪费了大量时间的精力。关于牛顿在1692～1693年间答复本特莱大主教4封信论造物主（上帝）之存在，最为后人所诟病。所谓神臂就是第一推动出于第四封信中。从现代宇宙学来说，第一推动完全可能在物理框架中解决，而无需“神助”。
　　牛顿反对当时的英国国教。他反对三一教义，但不鲜明表白自己的意志，只是隐蔽地表明不愿担任圣职。总之，在对于宗教问题上牛顿比之于他的先驱者如哥白尼、布鲁诺、伽利略等赴汤蹈火而不辞的精神，则逊色多了。
　　1942年爱因斯坦为纪念牛顿诞生300周年而写的文章，对牛顿的一生作如下的评价“只有把他的一生看作为永恒真理而斗争的舞台上一幕才能理解他”。此赞语最恰当不过的了。
　　牛顿的哲学思想和科学方法:
　　牛顿在科学上的巨大成就连同他的朴素的唯物主义哲学观点和一套初具规模的物理学方法莫道不消魂论体系，给物理学及整个自然科学的发展，给18世纪的工业革莫道不消魂命、社会经济变革及机械唯物论思潮的发展以巨大影响。这里只简略勾画一些轮廓。
　　牛顿的哲学观点与他在力学上的奠基性成就是分不开的，一切自然现象他都力图力学观点加以解释，这就形成了牛顿哲学上的自发的唯物主义，同时也导致了机械论的盛行。事实上，牛顿把一切化学、热、电等现象都看作“与吸引或排斥力有关的事物”。例如他最早阐述了化学亲和力，把化学置换反应描述为两种吸引作用的相互竞争；认为“通过运动或发酵而发热”；火东篱把酒黄昏后药爆炸也是硫磺、炭等粒子相互猛烈撞击、分解、放热、膨胀的过程，等等。
　　这种机械观，即把一切的物质运动形式都归为机械运动的观点，把解释机械运动问题所必需的绝对时空观、原子论、由初始条件可以决定以后任何时刻运动状态的机械决定论、事物发展的因果律等等，作为整个物理学的通用思考模式。可以认为，牛顿是开始比较完整地建立物理因果关系体系的第一人，而因果关系正是经典物理学的基石。
　　牛顿在科学方法莫道不消魂论上的贡献正如他在物理学特别是力学中的贡献一样，不只是创立了某一种或两种新方法，而是形成了一套研究事物的方法莫道不消魂论体系，提出了几条方法莫道不消魂论原理。在牛顿《原理》一书中集中体现了以下几种科学方法：
　　①实验——理论——应用的方法。牛顿在《原理》序言中说：“哲学的全部任务看来就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些方去论证其他的现象。”科学史家 I.B.Cohen正确地指出，牛顿“主要是将实际世界与其简化数学表示反复加以比较”。牛顿是从事实验和归纳实际材料的巨匠，也是将其理论应用于天体、流体、引力等实际问题的能手。
　　②分析——综合方法。分析是从整体到部分（如微分、原子观点），综合是从部分到整体（如积分，也包括天与地的综合、三条运动定律的建立等）。牛顿在《原理》中说过：“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，总是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法……。一般地说，从结果到原因，从特殊原因到普遍原因，一直论证到最普遍的原因为止，这就是分析的方法；而综合的方法则假定原因已找到，并且已经把它们定为原理，再用这些原理去解释由它们发生的现象，并证明这些解释的正确性”。
　　③归纳——演绎方法。上述分析一综合法与归纳一演绎法是相互结合的。牛顿从观察和实验出发。“用归纳法去从中作出普通的结论”，即得到概念和规律，然后用演绎法推演出种种结论，再通过实验加以检验、解释和预测，这些预半夜凉初透言的大部分都在后来得到证实。当时牛顿表述的定律他称为公理，即表明由归纳法得出的普遍结论，又可用演绎法去推演出其他结论。
　　④物理——数学方法。牛顿将物理学范围中的概念和定律都“尽量用数学演出”。爱因斯坦说：“牛顿才第一个成功地找到了一个用公式清楚表述的基础，从这个基础出发他用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象并且同经验相符合”，“只有微分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求，微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”。牛顿把他的书称为《自然哲学的数学原理》正好说明这一点。
　　牛顿的方法莫道不消魂论原理集中表述在《原理》第三篇“哲学中的推理法则”中的四条法则中，此处不再转引。概括起来，可以称之为简单性原理（法则1），因果性原理（法则2），普遍性原理（法则3），否证法原理（法则4，无反例证明者即成立）。有人还主张把牛顿在下一段话的思想称之为结构性原理：“自然哲学的目的在于发现自然界的结构的作用，并且尽可能把它们归结为一些普遍的法规和一般的定律——用观察和实验来建立这些法则，从而导出事物的原因和结果”。
　　牛顿的哲学思想和方法莫道不消魂论体系被爱因斯坦赞为“理论物理学领域中每一工作者的纲领”。这是一个指引着一代一代科学工作者前进的开放的纲领。但牛顿的哲学思想和方法莫道不消魂论不可避免地有着明显的时代局限性和不彻底性，这是科学处于幼年时代的最高成就。牛顿当时只对物质最简单的机械运动作了初步系统研究，并且把时空、物质绝对化，企图把粒子说外推到一切领域（如连他自己也不能解释他所发现的“牛顿环”），这些都是他的致命伤。牛顿在看到事物的“第一原因”“不一定是机械的”时，提出了“这些事情都是这样地井井有条……是否好像有一位……无所不在的上帝”的问题，（《光学》，疑问29），并长期转到神学的“科学”研究中，费了大量精力。但是，牛顿的历史局限性和他的历史成就一样，都是启迪后人不断前进的教材。

编辑本段宗教观点

　　力定律是牛顿最著名的发现。牛顿警告，不可用此发现把宇宙看成只是机器，犹如一个大时钟。 他说：“重力解释行星的运行，但不能解释谁使行星运行。上帝治理万物，知道一切可做或能做的事。”
　　虽然牛顿在科学上享有大名，但《圣经》才是他的最大的激情。比于科学他致力了更多时间于《圣经》的研究，并且说：“我根本上相信《圣经》是作为上帝的话语，由那些被灵感的人写成。我每天也学习《圣经》。”
　　牛顿是上帝一位论和亚流学说信奉者，并不同意上帝是三位一体的教会教条。若这秘密在他有生之年被揭露，按当时的法律会撤除他剑桥大学教授一职。有关他在这题目上的文字写作，只以遗作形式出版。
　　他试图找出暗藏在《圣经》之内的信息，但始终未能取得成功。

编辑本段牛顿与中国

　　牛顿生活的年代相当于明亡之前一年到清雍正5年，《自然哲学的数学原理》一书发表的时间相当于康熙25年。从牛顿《原理》发表的1687年到1840年的150余年间，牛顿物理学和天文学知识几乎没有介绍到中国。《原理》一书的基本内容直到鸦片战争之后才在中国传播。
　　哥白尼的太阳中心说、开普勒的椭圆轨道、牛顿的万有引力三者相继传入中国，它们和中土奉为圭臬的“天动地静”、“天圆地方”、“阴阳相感”的传统有天壤之别。这就不能不引起中国人的巨大反响。牛顿学说在中国的传播决不只是影响了学术界，唤醒了人们对于科学真理的认识。更重要的是，也为中国资产阶半夜凉初透级改革派发起的戊戌变法（1898年）提供了一种舆佳节又重阳论准备。这个运动的主将康有为、梁启超和谭嗣同等人，都无例外地从牛顿学说中寻找维新变法的根据，尤其是牛顿在科学上革故图新的精神鼓舞了清代一切希望变革社会的有志之士。

编辑本段轶事

　　苹果落地
　　一个偶然的事件往往能引发一位科学家思想的闪光。这是1666年夏末一个温暖的傍晚，在英格兰林肯州乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进他母亲家的花园里，坐在一棵树下，开始埋头读他的书。当他翻动书页时，他头顶的树枝中有样东西晃动起来。一只历史上最著名的苹果落了下来，打在23岁的牛顿的头上恰巧在那天，牛顿正苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，以及使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？为什么这只打中他脑袋的苹果会坠落到地上？正是从思考这一问题开始，他找到了这些的答案——万有引力理论。由于牛顿的《自然哲学的数学原理》一书用的是欧几里德几何学的表述方式，它是一个严密的、完美的体系，书中没有叙述苹果落地的故事，致使许多人对苹果落地一说持保留意见。实际上，牛顿的亲戚和朋友多次证实苹果落地的故事。法莫道不消魂国文学家、科学家伏尔泰曾追忆过，他在牛顿去世前一年，即1726年去英国时，听牛顿的继姊妹说过，一天，牛顿躺在苹果树下，忽然看到一个苹果落地，引起了他的思考。牛顿灵机一动，脑中突然形成一种观点：苹果落地和行星绕日会不会由同一宇宙规律所支配的？悟出了万有引力定律。牛顿晚年的一位密友斯多克雷也明确提到，在172年4月的一天，和牛顿共进午餐后，一起来到牛顿家后园，并在苹果树下饮茶。在谈话中“他（指牛顿）告诉我正是在过去同样情况下，注意引力的思想出现在他的脑海里，那是在一棵苹果树下偶然发生的，当时他处于沉思冥想之中。”
　　（图片：http://hi.baidu.com/wmr2007/blog/item/67f4422da63f5437349bf7a2.html）
　　还有牛顿晚年的另一位密友潘伯顿在有关追忆牛顿的著作中，也谈及因苹果落地而引起验证引力平方反比关系的故事。牛顿在晚年再次讲述当时苹果的故事，那是离苹果落地时已经是60年过去了，为什么一个老人对此事记忆那么深刻，我认为有两个原因：首先是因为万有引力定律是一项举世瞩目的辉煌的成果，当事人对触发灵感的事件当然是深深的激动和怀念的；其次是与胡克的争执也留下深深的记忆，牛顿就从一个侧面澄清事实真莫道不消魂相，应该认为苹果落地一说的事实是成立的。
　　牛顿与伪币
　　作为英国皇家铸币厂的主管官半夜凉初透员，牛顿估计大约有20%的硬币是伪造的。伪造货币在英国是大逆罪，会被处以车裂的极刑。尽管这样，为那些恶名昭著的罪犯定罪是异常困难的；不过，事实证明牛顿胜任这项任务。
　　他通过掩饰自己的身份而搜集了许多证据，并公之于酒吧和客栈里。英国的法律保留了古老且麻烦的习惯，以给起诉设置必要的障碍，并将政府部门从司佳节又重阳法中分离开来。牛顿为此当上了太平绅士，并在1698年6月到到1699年圣诞节间引导了对200名证人、告密者和嫌疑犯的交叉讯问。牛顿最后得以胜诉，并在1699年2月执行了10名罪犯的死刑。后来，他下令将所有的讯问记录予以销毁。
　　也许牛顿最伟大的胜利是以国王法律代理人的身份与威廉•查洛纳（William Chaloner）对质。查洛纳密谋策动一起假的天主教阴谋活动，然后检举那些不幸被他诱骗来共谋者。在向国会的请愿中，查洛纳控告铸币厂有偿地将工具提供给了造伪币者，并请求国会允许他检查铸币厂的生产过程以证明他的控告。他还请求国会采纳他所谓的“无法伪造的造币过程”，以及同时打击假瑞脑消金兽币的计划。牛顿被激怒了，并开始着手调查，以查出查洛纳做过的其他事。在调查中，牛顿发现查洛纳参与了伪币制造。他立即起诉了查洛纳，但查洛纳先生在高层有一些朋友，因此他被无罪释放了，这让牛顿感到不满。在第二次起诉中，牛顿提供了确凿的证据，并成功地使查洛纳被判处大逆罪。1699年3月23日，查洛纳在泰伯恩行刑场被车裂。
　　科学研究的痴情
　　牛顿对于科学研究专心到痴情的地步。据说有一次牛顿煮鸡蛋，他一边看书一边干活，糊里糊涂地把一块怀表扔进了锅里，等水煮开后，揭盖一看，才知道错把怀表当鸡蛋煮了。还有一次，一位来访的客人请他估价一具棱镜。牛顿一下就被这具可以用作科学研究的棱镜吸引住了，毫不迟疑地回答说：“它是一件无价之宝！”客人看到牛顿对棱镜垂涎三尺，表示愿意卖给他，还故意要了一个高价。牛顿立即欣喜地把它买了下来，管家老太太知道了这件事，生气地说：“咳，你这个笨蛋，你只要照玻璃的重量折一个价就行了！”
　　终身未婚之谜
　　牛顿少年时代在一首诗里表白自己的远大抱负：
　　世俗的冠冕啊，我鄙视它如同脚下的尘土，
　　它是沉重的，而最佳也只是一场空虚；
　　可是现在我愉快地欢迎顶荆棘冠冕，
　　尽管刺得人痛，但味道主要的是甜；
　　我看见光荣之冠在我的面前呈现，
　　它充满幸福，永恒无边。
　　可以说，每一个伟大的科学家，都是富的激情、富有理想的诗人，但牛顿是一个追求用科学中的光线谱来解释他的理想的特殊类型的诗人。他让他的思想展翅飞翔，以整个宇宙作为藩篱。在他的整个心田里，填满了自然、宇宙。也许这是他终身未娶的最根本原因。不过，牛顿并没有完全与爱情绝缘。他一生中甚至有过两次恋爱。牛顿23岁正在剑桥大学求学时，由于剑桥发生了瘟疫，学校放假。牛顿回到乡下，住在舅父家里。在那里，他一次爱上了美丽、聪明、好学、富有思想的表妹。表妹也很喜欢这个学识渊博、卓见非凡的大学生。他们常常一起散步。牛顿喜欢即兴发表长篇讲话，他的讲话内容又多是他正在学习和研究的问题。表妹虽听不懂，但她还是耐心地听，似乎觉得很有趣。牛顿在心里想：“这样一个可爱的女子，对于我所讲的觉得这样有味，我一定很不错。当然，她的脑筋一定也很好，是个不平凡的女子。如果能得到她的帮助，解决我的许多困难问题，与我共同工作，那该多好啊！”
　　但是牛顿生性腼腆，并未及时向表妹表白心中的爱情。等他回到剑桥大学后，又聚集会神地沉浸到科学研究中去了。他早已忘记了远方的乡村还有一位美丽的少女在等着他。他对个人生活一直不予重视，而她的表妹却误以为牛顿对她冷淡，便择夫另醉心于科学研究而耽误了一次爱情的大好时机。牛顿实在太忙了，他连做梦想是宇宙、世界。他往往领带不结，鞋带不系好，马裤也不扣好，就走进大学餐厅。尽管如此，牛顿毕竟是个年轻人，还有一颗浪漫的心。有一次，“青春迫不及待的激情”，催使他向一位年轻姑娘求婚。他轻轻地握着她的手，含情脉脉地看着这位美人。正在这紧要关头，他的心思忽地溜到另一个世界去了。他的头脑中只剩下无穷量的二项式定理。他象做梦似的，下意识地抓住情人的一个手指，把它当成是通烟斗的通条，硬往烟斗里塞。姑娘痛得大叫一声，他才清醒过来。面对吃惊的姑娘，他连忙象只绵羊似的柔声道歉：“啊，亲爱的，饶恕我吧！我知道，我是不行了。看来，我是该打一辈子光棍！”
　　姑娘饶恕了牛顿，却无法理解他，爱情又成了泡影。科学上许多新的问题不断扑向牛顿的脑海，他整个热情都集中到了科学事业上。此后那种“青春的热情”再也没有涌现《多彩的旋律》。

编辑本段名言

　　“我不知道这个世界会如何看我，但对我自己而言我仅仅是一个在海边嬉戏的顽童，为时不时发现一粒光滑的石子或一片可爱的贝壳而欢喜，可与此同时对我面前的伟大的真理的海洋熟视无睹。
　　“自然和自然律隐没在黑暗中；神说，让牛顿去吧！万物遂成光明。”
　　“无知识的热心，犹如在黑暗中远征。”
　　“你该将名誉作为你最高人格的标志。”

编辑本段科学巨人的另一面

　　在中小学教科书中，学生们肯定不止一次接触到牛顿这一非同凡响的名字。正如人们所熟知的那样，他是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家，提出过万有引力定律、力学三大定律、白光由各色光组成的理论，并开创了微积分学，等等。在迈克尔•怀特所著的《100位杰出人物》一书中，艾萨克•牛顿（1642～1727年）被列为最具影响力人物之第二，排在穆罕默德之后，耶稣基薄雾浓云愁永昼督之前。他之所以能够获得如此殊荣，当然是因为他对科学发展的杰出贡献。
　　人们往往倾向于把科学史上具有划时代意义的伟大科学家看作是品德高尚的天才和圣人，无数荣誉和光环围绕着他们，使人们难以了解他们作为普通人的真实性情。新近出版的《牛顿传：最后的炼金术士》，通过大量翔实的资料和原始档案，还原了一个真实的牛顿。
　　这位站立在巫术终结和科学兴起的历史转折点上的天才，通过对未知世界永无止境的探索，使他成为有史以来最伟大的科学家之一，也使他将自己一生中更多的精力花费在炼金术上，牛顿总共留下50多万英文单词的炼金术手稿和100多万单词的神学手稿，而这些工作与他的科学发现很难说是毫无关联的。除此之外，他还专门研究过治疗想像中他所患疾病的药物。
　　此书作者基于科学发生学的视角，提出了牛顿痴迷炼金术与奠立近代科学基础之间的重大关联。他借助牛顿遗留下来的重要信件和从未发表过的笔记，阐释了牛顿从事炼金术和神学研究对于他发现万有引力，以及后来进行的统一场论研究的作用。
　　值得一提的是，直到1936年，牛顿真实的另一面才逐渐显露出来，而这要归功于20世纪的经济学大师、牛顿研究者约翰•梅纳德•凯恩斯。当时有一批牛顿遗留下来的文件在苏富比拍卖公司拍卖，这些文件是大约50年前由剑桥大学所接受的捐赠中被认为“不具科学价值”的一部分收藏品。结果，凯恩斯在拍卖中购得这批文件。
　　凯恩斯在研读这批从未向世人公布过的秘密文件后，于1942年在英国皇家学会发表演说，将历史上这位最著名和最崇高的科学家描绘成一个受到争议的性格偏执者。凯恩斯对牛顿的重新评价值得我们正视和思考：“从18世纪以来，牛顿一向被认为是第一个，也是最伟大的近代科学家，是一个理性主义者，他教导我们作出冷静的思考和无偏的推理。可是现在我要说，我不认为如此，我不认为任何人在看完那一箱文件之后，还会把他看成是那样一位道德高尚的伟人。”
　　莱布尼茨和牛顿各自独立地创造了微积分，尽管牛顿发现微积分要比莱布尼茨早若干年，但他很晚才出版自己的著作。于是，谁是微积分的第一创造者，成了当时科学界争吵的一件大事。牛津大学教授基尔在<哲学通报>上发表一篇讨论离心力的文章,文中把发明微积分的主要功劳记在牛顿名下,同时也提到了莱布尼兹.<哲学通报>到达莱布尼兹手上,立即惹怒了他.莱布尼兹寄信给皇家学会,要求收回那种说法.当莱布尼兹在<教师学报>上写了一篇评论,严厉批评牛顿的工作时,立场坚定的争论就开始了. 莱布尼兹使用的外交手段,是把自己隐藏在无所不知的编辑名义下,匿名写下这篇评论的,而<教师学报>是莱布尼兹本人在1682年创办并自任主编的杂志.那并非一场公开的战争. 莱布尼兹一方面在大众面前赞扬牛顿,一方面唆使别人,特别要约翰.伯努利写信攻击牛顿来为他辩护,伯努利照他的意思去做,没有在信上署名.莱布尼茨请求英国皇家学会予以裁定，而作为皇家学会会长的牛顿指定了一个公正的委员会来审查，皇家学会发表结论，正式谴责莱布尼茨剽窃。
　　至于牛顿为什么痴迷于炼金术,我们要考虑他所处的时代背景.在17世纪，炼金术和化学掺杂在一起，因为这时的化学还没有从炼金术中脱离出来，一个人要想研究化学而不接触炼金术是不可能的。因为没有人可以找出一本17世纪的没有炼金术内容化学著作。而牛顿对于化学一定充满了求知欲。所以他像研究数学物理那样去研究化学，而可以供他参考自学的书只有炼金术著作，所以他不得不选择炼金术。其实试图把化学从炼金术中分离出来的就是牛顿，因为他曾经写过一本名叫《化学》的书，后来在那次大火中被烧毁了，所以他对化学的贡献我们一无所知。留下的只是他学习过程中的一些手稿，一些没有经过分离的炼金术资料。
　　如果我们以今天的眼光来审视炼金术，我们应当承认它至少带来了一些有用的技术和工具。并且炼金术可能或多或少地激发了牛顿的灵感，有助于他在科学领域中的探索和发现。
　　科学巨人同样可能走向歧途，他们的人格或个性也可能存在着这样或那样的缺陷，但是他们对世界文明的贡献是第一位的，而这些有利于社会进步的探索永远不会被贬低或者忘却。

　　1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。
　　由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。
　　1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。
　　l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。
　　因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。
　　黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。
　　复变函数论的奠基人
　　19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。
　　1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。
　　柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。
　　在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。
　　经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。
　　黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。
　　黎曼几何的创始人
　　黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革莫道不消魂命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。
　　1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。
　　为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。
　　黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
　　黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
　　黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。
　　黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。
　　在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。
　　由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。
　　微积分理论的创造性贡献
　　黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。
　　18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。
　　1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。
　　柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。
　　黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。
　　黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。
　　解析数论跨世纪的成果
　　19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。
　　1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。
　　在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。
　　那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了复变函数论的内容。
　　组合拓扑的开拓者
　　在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。
　　黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。
　　比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。
　　代数几何的开源贡献
　　19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。
　　黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。
　　著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。
　　在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果
　　黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。
　　黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。
　　19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。
　　黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。
　　在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，……
　　黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。
　　不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。
　　黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。